Exercício 3: Se a e b são raízes da equação x2 – px + q = 0 (p, q > 0 e q diferente de 1), demonstre que: logqaa + logqbb + logqab + logqba = p Solução: Aplicando a propriedade L3 ao primeiro membro da igualdade (definimos como A) vem: A = alogqa + blogqb + blogqa + alogqb Colocando os termos comuns em evidência: A = (a + b)logqa + (a + b) logqb => A = (a + b)( logqa + logqb) E, pela propriedade L1: A = (a + b) logqab [1] Como todos vocês sabem (espero) que em uma equação do segundo grau mx2 + nx + k = 0 a soma e o produto de suas raízes valem, respectivamente: S = -n/m e P = k/m vem, pelas condições iniciais do exercício, que: a + b = p e a.b = q Substituindo esses valores em [1]: A = plogqq = p Exercício 3: Se a e b são raízes da equação x2 – px + q = 0 (p, q > 0 e q diferente de 1), demonstre que: logqaa + logqbb + logqab + logqba = p Solução: Aplicando a propriedade L3 ao primeiro membro da igualdade (definimos como A) vem: A = alogqa + blogqb + blogqa + alogqb Colocando os termos comuns em evidência: A = (a + b)logqa + (a + b) logqb => A = (a + b)( logqa + logqb) E, pela propriedade L1: A = (a + b) logqab [1] Como todos vocês sabem (espero) que em uma equação do segundo grau mx2 + nx + k = 0 a soma e o produto de suas raízes valem, respectivamente: S = -n/m e P = k/m vem, pelas condições iniciais do exercício, que: a + b = p e a.b = q Substituindo esses valores em [1]: A = plogqq = p